Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=6x+e^{-6x}\)

Ответ

x_{min}=0

Решение № 13301:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = 6x + e^{-6x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x + e^{-6x}) = 6 - 6e^{-6x} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 6 - 6e^{-6x} = 0 \implies \] \[ 6(1 - e^{-6x}) = 0 \implies \] \[ 1 - e^{-6x} = 0 \implies \] \[ e^{-6x} = 1 \]
4. Взять натуральный логарифм обеих частей уравнения:
\[ -6x = 0 \implies \] \[ x = 0 \]
5. Проверить поведение функции в окрестности критической точки \( x = 0 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6 - 6e^{-6x}) = 36e^{-6x} \]
6. Определить знак второй производной в точке \( x = 0 \):
\[ y'(0) = 36e^{-6 \cdot 0} = 36 > 0 \]
7. Так как вторая производная положительна в точке \( x = 0 \), точка \( x = 0 \) является точкой минимума.
8. Вычислить значение функции в точке минимума:
\[ y(0) = 6 \cdot 0 + e^{-6 \cdot 0} = 1 \]

Ответ:
Точка минимума: \( x = 0 \)
Значение функции в точке минимума: \( y(0) = 1 \) Замечание: Для функции \( y = 6x + e^{-6x} \) нет точек максимума, так как функция убывает до минимума в точке \( x = 0 \) и затем возрастает.