Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=x+8sinx-6cosx\)

Ответ

x_{max}=arccos\frac{4}{5}-arccos\left ( -\frac{1}{10} \right )+2\pi n, n\in Z; x_{max}=arccos\frac{4}{5}-arccos\left ( -\frac{1}{10} \right )+2\pi k, k\in Z

Решение № 13298:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = x + 8 \sin x - 6 \cos x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x + 8 \sin x - 6 \cos x) = 1 + 8 \cos x + 6 \sin x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 + 8 \cos x + 6 \sin x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 8 \cos x + 6 \sin x = -1 \]
4. Для упрощения выражения, перепишем его в виде:
\[ R \sin(x + \phi) = -1 \] где \( R = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \), \[ \sin \phi = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \quad \cos \phi = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
5. Таким образом, уравнение принимает вид:
\[ 10 \sin(x + \phi) = -1 \implies \sin(x + \phi) = -\frac{1}{10} \]
6. Решим уравнение \( \sin(x + \phi) = -\frac{1}{10} \):
\[ x + \phi = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad x + \phi = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Подставим \( \phi \):
\[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
8. Находим вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx}(1 + 8 \cos x + 6 \sin x) = -8 \sin x + 6 \cos x \]
9. Определим знак второй производной в критических точках:
\[ y'\left(\arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi\right) \quad \text{и} \quad y'\left(\pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi\right) \]
10. Если \( y' > 0 \), то это точка минимума, если \( y' < 0 \), то это точка максимума.

Ответ:
Точки максимумов и минимумов функции \( y = x + 8 \sin x - 6 \cos x \) находятся в точках:
\[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{10}\right) - \phi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]