Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Найти точки экстремума функций\(y=\frac{2}{3}x^{3}-5x^{2}+2x-14\)
Ответ
x_{max}=2, x_{min}=3
Решение № 13296:
Для нахождения точек экстремума функции \( y = \frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 2x - 14 \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Найти производную функции \( y \):
\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^3 - 5x^2 + 2x - 14\right) = 2x^2 - 10x + 2
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[
2x^2 - 10x + 2 = 0
\]
-
Решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 10x + 2 = 0 \):
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где \( a = 2 \), \( b = -10 \), \( c = 2 \):
\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{84}}{4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{21}}{4}
\]
-
Получаем два корня:
\[
x_1 = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}
\]
-
Проверить, какие из этих точек являются точками экстремума, используя вторую производную \( y' \):
\[
y' = \frac{d}{dx}(2x^2 - 10x + 2) = 4x - 10
\]
-
Вычислить значение второй производной в критических точках:
\[
y'\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{5 + \sqrt{21}}{2} - 10 = 2(5 + \sqrt{21}) - 10 = 10 + 2\sqrt{21} - 10 = 2\sqrt{21} > 0
\]
\[
y'\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) = 4 \cdot \frac{5 - \sqrt{21}}{2} - 10 = 2(5 - \sqrt{21}) - 10 = 10 - 2\sqrt{21} - 10 = -2\sqrt{21} < 0
\]
-
Определить характер экстремума:
\[
y'\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) > 0 \implies \text{точка минимума}
\]
\[
y'\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) < 0 \implies \text{точка максимума}
\]
-
Вычислить значения функции в точках экстремума:
\[
y\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right) - 14
\]
\[
y\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right) - 14
\]
Ответ:
Точка минимума: \( x = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \)
Точка максимума: \( x = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \)