Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки экстремума функций\(y=2x^{3}-3x^{2}-12x+5\)

Ответ

x_{max}=-1, x_{min}=2

Решение № 13291:

Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) = 6x^2 - 6x - 12 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]
3. Упростить уравнение, разделив все члены на 6:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
4. Решить квадратное уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
5. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
6. Проверить значения производной вокруг критических точек для определения экстремумов:
• Для \( x = -1 \):
\[ y'(-1.1) = 6(-1.1)^2 - 6(-1.1) - 12 \approx 6.61 + 6.6 - 12 \approx 1.21 > 0 \] \[ y'(-0.9) = 6(-0.9)^2 - 6(-0.9) - 12 \approx 4.86 + 5.4 - 12 \approx -1.74 < 0 \] Следовательно, \( x = -1 \) является точкой локального максимума.
• Для \( x = 2 \):
\[ y'(1.9) = 6(1.9)^2 - 6(1.9) - 12 \approx 21.66 - 11.4 - 12 \approx -1.74 < 0 \] \[ y'(2.1) = 6(2.1)^2 - 6(2.1) - 12 \approx 26.46 - 12.6 - 12 \approx 1.86 > 0 \] Следовательно, \( x = 2 \) является точкой локального минимума.
7. Вычислить значения функции в критических точках:
\[ f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 \] \[ f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15 \]

Ответ:
Точка локального максимума: \( x = -1 \) с значением \( y = 12 \)
Точка локального минимума: \( x = 2 \) с значением \( y = -15 \)