Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти точки максимумов и минимумов функций\(y=x+sin2x\)

Ответ

x_{max}=\frac{\pi }{3}+\pi k, x_{min}=-\frac{\pi }{3}+\pi n, k, n\in Z

Решение № 13285:

Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = x + \sin(2x) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x + \sin(2x)) = 1 + 2\cos(2x) \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 1 + 2\cos(2x) = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2\cos(2x) = -1 \implies \]
4. \[ \cos(2x) = -\frac{1}{2} \]
5. Найти углы, при которых косинус равен \(-\frac{1}{2}\):
\[ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
6. Разделить на 2, чтобы найти \( x \):
\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
7. Проверить, какие из этих точек являются точками экстремума:
\[ \text{Возьмем } k = 0 \text{ и } k = 1: \] \[ x = \frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в этих точках:
\[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} + \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \sin\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ y\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} + \sin\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\frac{4\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \]
9. Сравнить полученные значения и определить точки максимумов и минимумов:
\[ \text{Точки максимумов: } x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} \] \[ \text{Точки минимумов: } x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \]

Ответ:
Точки максимумов: \( x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{4\pi}{3} \)
Точки минимумов: \( x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = -\frac{4\pi}{3} \)