Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=4x^{4}-2x^{2}-5\) на отрезке \([0;2]\)

Ответ

\underset{[0;2]}{max} y(x)=51; \underset{[0;2]}{min} y(x)=-5,25

Решение № 13254:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = 4x^4 - 2x^2 - 5 \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x^4 - 2x^2 - 5) = 16x^3 - 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 16x^3 - 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 4x(4x^2 - 1) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad 4x^2 - 1 = 0 \]
5. Решить \( 4x = 0 \):
\[ x_1 = 0 \]
6. Решить \( 4x^2 - 1 = 0 \):
\[ 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_3 = -\frac{1}{2} \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[ x_1 = 0 \quad \text{попадает} \] \[ x_2 = \frac{1}{2} \quad \text{попадает} \] \[ x_3 = -\frac{1}{2} \quad \text{не попадает} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = 4(0)^4 - 2(0)^2 - 5 = -5 \] \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5 = 4 \cdot \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 5 = -\frac{1}{4} - 5 = -5.25 \] \[ y(2) = 4(2)^4 - 2(2)^2 - 5 = 4 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 5 = 64 - 8 - 5 = 51 \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = 51 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y\left(\frac{1}{2}\right) = -5.25 \]

Ответ:
Наибольшее значение: \( 51 \)
Наименьшее значение: \( -5.25 \)