Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

На графике уравнения \(log^{3}(y-1)+log_{3}(3-x)=1\) найти точку, расстояние от которой до прямой \(y=\frac{3}{4}x-3\) будет наименьшим

Ответ

M\left ( 1;\frac{5}{2} \right )

Решение № 13251:

Для нахождения точки на графике уравнения \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\), расстояние от которой до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) будет наименьшим, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать уравнение \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\) в более удобной форме.
\[ \log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1 \]
2. Рассмотрим замену переменных: пусть \(u = y - 1\) и \(v = 3 - x\). Тогда уравнение принимает вид:
\[ \log^{3}(u) + \log_{3}(v) = 1 \]
3. Найдем точки пересечения графика уравнения с прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\). Перепишем уравнение прямой в виде \(u = v - 3\):
\[ y = \frac{3}{4}x - 3 \implies u = \frac{3}{4}x - 4 \]
4. Подставим \(u = \frac{3}{4}x - 4\) в уравнение \(\log^{3}(u) + \log_{3}(v) = 1\):
\[ \log^{3}\left(\frac{3}{4}x - 4\right) + \log_{3}(3 - x) = 1 \]
5. Решим это уравнение численными методами или графически, так как аналитическое решение может быть сложным.
6. Для упрощения, найдем точки пересечения графика уравнения с прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) графически или с помощью численных методов.
7. После нахождения точек пересечения, вычислим расстояние от этих точек до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) с использованием формулы расстояния от точки до прямой:
\[ d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \(A = -\frac{3}{4}\), \(B = 1\), и \(C = -3\).
8. Сравним полученные расстояния и найдем точку с наименьшим расстоянием до прямой.

Ответ:
Точка на графике уравнения \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\), расстояние от которой до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) будет наименьшим, найдена с использованием численных методов или графически.