Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Определить, при каком значении \(b\) прямая \(y=3x+b\) является касательной к графику \(y=\sqrt{x}\)

Ответ

\frac{1}{12}

Решение № 13246:

Для определения значения \( b \), при котором прямая \( y = 3x + b \) является касательной к графику \( y = \sqrt{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \sqrt{x} \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
2. Найти точку касания, где производная \( y = \sqrt{x} \) равна угловому коэффициенту прямой \( y = 3x + b \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 3 \]
3. Решить уравнение относительно \( x_0 \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 3 \implies 2\sqrt{x_0} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{x_0} = \frac{1}{6} \implies x_0 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
4. Найти значение функции \( y = \sqrt{x} \) в точке \( x_0 \):
\[ y_0 = \sqrt{x_0} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6} \]
5. Подставить координаты точки касания \( (x_0, y_0) \) в уравнение прямой \( y = 3x + b \):
\[ \frac{1}{6} = 3 \cdot \frac{1}{36} + b \implies \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + b \implies b = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} \]

Ответ:
Значение \( b \), при котором прямая \( y = 3x + b \) является касательной к графику \( y = \sqrt{x} \), равно \( \frac{1}{12} \).