Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Арифметика, Дробные числа, Текстовые задачи, Текстовые арифметические задачи с использованием дробей, Задачи на среднюю скорость,

Задача в следующих классах: 5 класс 6 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Метрострой нанял двух кротов для рытья туннеля. Один из них копает быстрее другого, а едят они одинаково. Что выгоднее (в смысле затрат продуктов): копать с двух сторон до встречи или копать каждому половину туннеля?

Ответ

копать с двух сторон до встречи

Решение № 11195:

Для решения задачи о том, что выгоднее в смысле затрат продуктов: копать с двух сторон до встречи или копать каждому половину туннеля, выполним следующие шаги:

1. Обозначим длину туннеля как \(L\).
2. Пусть \(v_1\) — скорость копания первого крота, а \(v_2\) — скорость копания второго крота. Без ограничения общности считаем, что \(v_1 > v_2\).
3. Обозначим \(t_1\) и \(t_2\) как время, затраченное первым и вторым кротом соответственно на копание своих частей туннеля.
4. Пусть \(c\) — количество еды, потребляемой каждым кротом за единицу времени.

Сценарий 1: Копать с двух сторон до встречи

1. Пусть кроты встречаются в точке \(M\), которая делит туннель на две части длиной \(x\) и \(L - x\).
2. Время, затраченное первым кротом на копание части туннеля длиной \(x\), равно \(t_1 = \frac{x}{v_1}\).
3. Время, затраченное вторым кротом на копание части туннеля длиной \(L - x\), равно \(t_2 = \frac{L - x}{v_2}\).
4. Поскольку кроты встречаются в точке \(M\), время \(t_1\) и \(t_2\) должно быть одинаковым, то есть: \[ \frac{x}{v_1} = \frac{L - x}{v_2} \]
5. Решим это уравнение для \(x\): \[ x = \frac{L v_1}{v_1 + v_2} \]
6. Теперь найдем общее время \(t\), затраченное на копание туннеля: \[ t = \frac{x}{v_1} = \frac{\frac{L v_1}{v_1 + v_2}}{v_1} = \frac{L}{v_1 + v_2} \]
7. Общее количество еды, потребленной обоими кротами, равно: \[ \text{Общее количество еды} = 2ct = 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \]

Сценарий 2: Копать каждому половину туннеля

1. Первый крот копает половину туннеля длиной \(\frac{L}{2}\) со скоростью \(v_1\), затрачивая время \(t_1 = \frac{\frac{L}{2}}{v_1} = \frac{L}{2v_1}\).
2. Второй крот копает половину туннеля длиной \(\frac{L}{2}\) со скоростью \(v_2\), затрачивая время \(t_2 = \frac{\frac{L}{2}}{v_2} = \frac{L}{2v_2}\).
3. Общее количество еды, потребленной обоими кротами, равно: \[ \text{Общее количество еды} = c \left( \frac{L}{2v_1} + \frac{L}{2v_2} \right) = c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) \]

Сравнение двух сценариев

1. Для первого сценария количество еды равно: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \]
2. Для второго сценария количество еды равно: \[ c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) \]
3. Сравним эти два выражения: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \quad \text{и} \quad c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right) \]
4. Для сравнения удобно привести выражения к общему знаменателю: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \quad \text{и} \quad c \cdot \frac{L}{2} \left( \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2} \right) \]
5. Теперь сравним: \[ 2c \cdot \frac{L}{v_1 + v_2} \quad \text{и} \quad c \cdot \frac{L (v_1 + v_2)}{2 v_1 v_2} \]
6. Поскольку \(v_1 > v_2\), ясно, что: \[ \frac{2}{v_1 + v_2} < \frac{v_1 + v_2}{2 v_1 v_2} \]
7. Следовательно, первый сценарий (копать с двух сторон до встречи) требует меньше еды.

Таким образом, выгоднее копать с двух сторон до встречи. Ответ: Копать с двух сторон до встречи.